Lineære ligninger
Lineære ligninger er ligninger, hvor de ubekendte optræder i første potens. For eksempel er en lineær ligning i den ubekendte , mens ikke er det, da den ubekendte optræder i anden potens. Lineære ligninger dækker også over flere ligninger med flere ubekendte som f.eks. følgende tre ligninger med de tre ubekendte og .
Opskriv to ligninger med to ubekendte, som ikke har en løsning.
En ligning med en ubekendt
Der er nogle ganske enkle regler for løsning af lineære ligninger. Lad os, som eksempel, kigge nærmere på ligningen . Processen for at isolere er helt mekanisk:
De overordnede regler vi har brugt er hvor er tal og et tal . Disse regler gør at vi altid kan isolere den ubekendte på den ene side af lighedstegnet.
Flere ligninger og flere ubekendte
Ligningen indeholder kun en ubekendt og har kun løsningen . Hvis en lineær ligning indeholder mere end en ubekendt har den uendeligt mange løsninger. Tag som eksempel ligningen . Ved samme omskrivninger som ovenfor gælder
Her kan vi altså vælge frit på uendeligt mange måder, men når først er valgt er lagt fast.
Flere ligninger
Det giver også mening at betragte flere ligninger med flere ubekendte som f.eks.
To tal og er en løsning hvis begge ligningerne er opfyldt. Fra eksemplet ovenfor ved vi at den anden ligning medfører at Dette kan indsættes for i den første ligning og vi får Dette er en almindelig førstegradsligning kun i variablen . Løsningen er , som så indsættes i ligningen (3.2). Her ses så at . Dvs de to ligninger har løsningen og .
Gauss elimination
Ved løsning af flere lineære ligninger, er det naturligt at fastholde en af ligningerne, isolere en variabel og så indsætte i de andre ligninger. Lad os studere denne operation via et eksempel med to ligninger med tre ubekendte:
I den første ligning isoleres , som så indsættes i den anden ligning: I ligningssystemet giver det også god mening at gange første ligning med og trække fra anden ligning. Denne operation giver ligningen At de to operationer giver samme ligning er ikke noget tilfælde. Det er indholdet af følgende resultat.
Operationen med at gange en ligning med et tal og addere til en anden ligning er umiddelbart nemmere at håndtere end substitutionsmetoden og vi har ovenfor vist at de er ens. Nedenfor er et helt gennemregnet eksempel.
Vi ønsker at løse ligningssystemet
Første trin nedenfor består i at trække den tredje ligning fra den anden:
Derefter trækkes gange tredje ligning fra den første: Til sidste lægges anden ligning til første ligning: Vi har nu reduceret det oprindelige ligningssystem (3.5) til ligningssystemet hvor vi ud fra første ligning hurtigt ser at . Men så kan sættes ind i anden ligning, som så bliver med løsning . Til sidst sættes og ind i den tredje ligning og man får ligningen eller .Eliminations- eller substitutionsmetoden til løsning af lineære ligningerne er en gammel kending. Sir Isaac Newton beskrev i 1720 metoden som følger.
And you are to know, that by each Æquation one unknown Quantity may be taken away, and consequently, when there are as many Æquations and unknown Quantities, all at length may be reduc'd into one, in which there shall be only one Quantity unknown.
Den matematiske superstjerne Carl Friedrich Gauss benyttede metoden til at bestemme banen for asteroiden Pallas. Den matematiske behandling af obervationerne ledte ham til mindste kvadraters metode og et ligningssystem med seks lineære ligninger og seks ubekendte.
Selvom han langt fra var den første til at løse lineære ligninger ved proceduren ovenfor, er metoden blevet opkaldt efter ham. I nutiden kendes den ved navnet Gauss elimination.
Anvendelser
Vi har allerede ovenfor set et par quizeksempler på anvendelser af lineære ligninger. Her giver vi nogle flere.
Linjer, parabler og polynomier af højere grad
En linje i planen er karakteriseret ved dens ligning , hvor er hældningskoefficienten og skæringen med -aksen. Gennem to punkter og med går præcis en linje:
Linjen kan findes ved at løse to ligninger med to ubekendte:
Her er de ubekendte og . Lige i dette tilfælde kan vi benytte Gauss elimination og trække sidste ligning fra første og få dvs Ved indsættelse af i første ligning fås Vi kan helt eksplicit konstruere linjen gennem de to punkter som Funktionen i (3.6) er et polynomium af grad en med og .Næsten analogt hermed går der en entydig parabel
gennem tre punkter og med forskellige -værdier:
Her giver punkterne følgende tre ligninger
Vi kan helt eksplicit konstruere parablen gennem de tre punkter som
Læg igen mærke til dette fantastiske trick kopieret fra linjen ovenfor: funktionen i (3.8) er et polynomium af grad to med og . Samtidig giver dette et bevis for at ligningerne i (3.7) faktisk kan løses!
Kemisk ligevægt
I kemiske reaktioner er et grundliggende princip massebevarelse. I nedenstående proces reagerer methan med oxygen og der opstår kuldioxid og vand som følge, men der er ubalance mellem masserne på hver side af pilen.
På venstresiden er der f.eks. fire hydrogenatomer, mens der på højresiden kun er to. Vi kan afstemme reaktionen ved at indføre fire variable , som hver for sig angiver mængden af de involverede molekyler: Ved at benytte at antallet af de enkelte atomer skal være bevaret får vi følgende lineære ligninger Igen er Gauss elimination nyttig. Vi ganger sidste ligning med og trækker fra den næstsidste ligning for at eliminere : Dernæst ganger vi første ligning med og lægger til anden ligning: Nu ses at løsningerne til ligningen kun afhænger af den frie variabel : Dvs der er uendeligt mange måder at balancere reaktionsskemaet (3.9) på afhængig af valget af . For balancerer reaktionsskemaet som
En meget vigtig matematisk sætning
For at komme i gang med den lineære algebra, som egentlig blot er en fin ramme for studiet af lineære liginger, er der specielt et vigtigt resultat som skal vises.
Lineære ligningssystemer med lutter nuller på højresiden kaldes homogene. Et eksempel kunne være
Sådanne ligningssystemer har altid løsningen, hvor alle de ubekendte er . Denne løsning kan være den eneste som i tilfældet
Vi kan derfor uden tab af generalitet antage at og isolere ud fra følgende formel
Vi vælger nu de variable så mindst en af dem er og fastlægger derefter via (3.11). Herefter har vi en løsning til (3.10) forskellig fra nulløsningen.Hvad gør vi med et ligningssystem med mere end en ligning? Lad os antage, at vi har ligninger med ubekendte, hvor og :
Lad os stiltiende antage at sætningen er sand for homogene ligningssystemer med færre end ligninger (vi har ovenfor bevist sætningen for et homogent ligningssystem med kun en ligning dvs for ).
Hvis alle for , så er og en løsning forskellig fra nulløsningen. Antag derfor at . Så kan vi ved Gauss elimination ud fra i første ligning eliminere i ligningerne nedenunder. Dette giver ligningssystemet
hvor første ligning er uændret, men hvor Gauss elimination har ændret de ligninger under den første. Vi kigger nu nærmere på det mindre ligningssystem Dette er et homogent ligningssystem med ligninger og ubekendte. Da ved vi per vores antagelse at der findes en løsning forskellig fra nulløsningen til det mindre ligningssystem ovenfor. På samme måde som for giver denne løsning en løsning forskellig fra nulløsningen til det større ligningssystem.Bevismetoden i beviset ovenfor kendes under betegnelsen matematisk induktion. Man begynder med det enkleste tilfælde med kun en ligning. Du kan ret nemt se hvordan beviset virker for et ligningssystem med to ligninger ved at reducere til det allerede beviste tilfælde med kun en ligning. For et ligningssystem med tre ligninger bevises sætningen ved at reducere til tilfældet med to ligninger osv.
Opgaver
Find samtlige løsninger til ligningssystemet
Løs ligningssystemet
ved hjælp af Gauss elimination, som forklaret i dette kapitel.
En mand kaster en stålkugle lodret ned fra toppen af en skyskraber på en planet i vores solsystem. Fra nabobygningen måles kuglens højde efter givne tidsrum: Efter 4 sekunder har kuglen en højde på 426 meter, efter 6 sekunder har kuglen en højde på 369 meter og efter 9 sekunder har kuglen en højde på 256 meter.
Hvor stor en hastighed blev stålkuglen kastet med til at begynde med? Hvad er tyngdeaccelerationen på planeten i forhold til målingerne? Hvilken planet befinder manden sig højst sandsynligt på?
Find så at hvor
Gør rede for at der til punkter med forskellige -værdier findes entydige tal så hvor Hvorfor medfører det at ligningssystemet har en løsning i de ubekendte ? Findes der kun en løsning her?