Lad os vende tilbage til historien om ligninger og tal. Det vil føre
for vidt at forklare, hvordan man systematisk indfører tal, som ikke
behøver være brøker. Kort sagt laver man dem som uendelige decimaltal,
men detaljerne er ret kedelige og lidt besværlige. Så vi vil antage at
vi ved hvad (reelle) tal er. Man kan ikke finde et reelt tal, som løser
ligningen
x2+1=0,
— intet reelt tal ganget med sig selv giver −1. Enhver
enkel lommerregner vil blinke en fejlmeddelelse, hvis du forsøger at
tage kvadratroden til −1. Derimod vil et moderne computer algebra
system som Maple eller
Mathematica
formentlig give dig symbolet I som output. Hvad er dette I?
Lad os først komme ind på hvor anderledes (og mere spændende) de
komplekse tal er med et eksempel fra computergrafik.
Mandelbrotmængden
Geometrisk opholder de komplekse tal sig i to dimensioner, mens
de almindelige tal kun bevæger sig på en linje i en dimension.
Man kan benytte de komplekse tal til at generere såkaldte
fraktaler som
Mandelbrotmængden
nedenfor. Mandelbrotmængden er blevet kaldt et af de smukkeste og mest
komplicerede objekter i moderne matematik. I næste afsnit ser vi
nærmere på addition og multiplikation af komplekse
tal. Mandelbrotmængden er frembragt ene og alene ved at iterere
multiplikationer og additioner med komplekse tal.
Interaktiv grafik: Du kan udforske
et område af Mandelbrotmængden ved at klikke og holde musen nede for
at markere et rødt rektangel til at
zoome ind på. Det bedste resultat fås ved at markere et kvadrat. Når
du zoomer ind på mængden vil du opdage visuel matematisk skønhed og at
figuren gentager sig selv.
Kommentarer/spørgsmål?
Regneregler
Mandelbrotmængden fremkommer ved mange iterationer bestående af
multiplikationer og additioner med komplekse tal. Vi har brug
for at vide hvad komplekse tal er og hvordan man regner med dem.
En specielt vigtig regneregel for reelle tal hedder den
distributive lov. Den siger at
x(y+z)=xy+xz
for x,y,z∈R. En anden velkendt regel siger
at faktorernes orden er ligegyldig eller at multiplikation
er kommutativ dvs xy=yx.
Den ukronede konge blandt regnereglerne er reglen x(yz)=(xy)z, som
kaldes den associative lov. Uformelt siger den at vi selv kan vælge
hvordan vi udregner et produkt xyz: Det gør ikke nogen forskel om
vi først ganger x sammen med y og så ganger z på eller
om vi først ganger y sammen med z og så ganger x på. Det giver det samme resultat. Hvis vi ikke
havde den associative lov ville (den aritmetiske) verden være kaotisk.
Faktisk kan vi allerede nu se at
den associative lov gælder for vores nye tal af formen a+bi: Lad
x=a+bi,y=c+di og z=e+fi, hvor
a,b,c,d,e,f er reelle tal.
Udregn u=yz ved at sætte ind i formlen.
Udregn v=xy ved at sætte ind i formlen.
Udregn xu og vz ved at sætte ind i formlen.
Overbevis dig nu om at x(yz)=(xy)z dvs at xu=vz.
Hvorfor benyttes notationen i for √−1? Begrundelsen er
historisk og
daterer sig tilbage til 1500-tallet, hvor den italienske matematiker
Cardano havde
behov for at regne med opdigtede eller imaginære tal for at
finde en formel til løsning af tredjegradsligninger. Det komplekse
tal i kaldes for den imaginære enhed.
De komplekse tal er mængden
C={x+yi∣x,y∈R},
hvor multiplikation er givet som
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
og addition som
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
For et komplekst tal z=x+iy defineres
Realdelen som
Re(z)=x
Imaginærdelen som
Im(z)=y.
Det komplekst konjugerede tal
z=x−iy
To komplekse tal er identiske hvis og kun hvis deres real- og imaginærdele er ens.
Ved hjælp af formlen for multiplikation af komplekse tal ses for z=c+di, at
zz=(c+di)(c−di)=c2+d2
ved indsættelse af a=c, b=d, c=c og d=−d. Denne observation gør at vi kan udlede
følgende divisionsformel:
Divisionen af to komplekse tal giver altså igen et komplekst tal. Vi antager at tælleren c+di ikke er lig 0 dvs
c og d ikke begge er 0 eller ækvivalent hermed at c2+d2≠0.
Kommentarer/spørgsmål?
En meget vigtig egenskab er at hvis a+bi≠0, så findes c+di så
(a+bi)(c+di)=1. Vi ved godt denne regel er korrekt for de reelle
tal dvs, hvis x≠0 så findes et reelt tal y så xy=1. Her kan vi bare
sætte y=1/x. På samme måde kan vi sætte c+di=1/(a+bi).
Den geometriske fortolkning af de komplekse tal
blev først introduceret af den danske matematiker
Caspar Wessel (1745-1818)
i 1797.
Det forekommer ret naturligt at opfatte et komplekst tal z=x+iy, som
punktet (x,y) i et koordinatsystem.
Med dette geometriske billede ligger det lige for at indføre følgende
definitioner.
Lad z=x+iy være et komplekst tal.
Længden af vektoren (x,y) kaldes modulus
for z og betegnes ∣z∣. Vinklen
som (x,y) danner med x-aksen kaldes argumentet
for z og defineres som en vinkel i intervallet [0,2π).
For et reelt tal x∈R definerer vi det komplekse tal
eix=cos(x)+isin(x).(2.1)
Læg mærke til at hvis θ er argumentet for det komplekse tal z, så er
∣z∣z=eiθ.(2.2)
Det er fordi at z/∣z∣ præcis svarer til vektoren (x,y) ganget
med dens reciprokke længde. Denne vektor er en enhedsvektor, som
danner vinklen θ med x-aksen. Dvs den svarer præcis til det
komplekse tal eiθ.
Ligningen (2.2) giver den smukke geometriske repræsentation
z=∣z∣eiθ(2.3)
af det komplekse tal z. Fremstillingen (2.3) kaldes for
den polære form af z.
Denne repræsentation fortjener at blive kaldt smuk, fordi
den afspejler sig mirakuløst i multiplikationen af komplekse tal:
Lad z1 og z2 være to komplekse tal med argumenter hhv θ1 og
θ2. Så er
Formlen kombinerer på minimal vis fire af de allervigtigste
konstanter i matematikken: e,i,π og 1 og følger af
definitionen i (2.1).
Kommentarer/spørgsmål?
De Moivres formel
Abraham de Moivre var en fransk matematiker, som udover at beskæftige sig med sandsynlighedsteori også fik sit navn udødeliggjort gennem De Moivres formel. Denne formel siger i al sin enkelhed at der for et naturligt tal n og et reelt tal x gælder
(cos(x)+isin(x))n=cos(nx)+isin(nx).(2.5)
Det er ikke svært at bevise formlen via sætningen ovenfor, som medfører at
(cos(x)+isin(x))n=(eix)n=einx=cos(nx)+isin(nx).
Ikke desto mindre er (2.5) et mirakel, som markerer den stærke
forbindelse mellem komplekse tal og trigonometriske funktioner. For eksempel kan man
benytte De Moivres formel til at udlede formler som
hvor n er et naturligt tal.
Hvis vi kun begrænser os til de reelle tal, har (2.7) højst to
løsninger (feks for n=2) og nogle gange kun en (feks for n=3). I de komplekse tals domæne har vi to
dimensioner og kan boltre os både lodret og vandret.
En løsning z til (2.7) bliver nødt til at have modulus 1 dvs z=eiφ med φ∈[0,2π). Da
zn=einφ=cos(nφ)+isin(nφ)=1
har vi altså m2π=nφ for et helt tal m∈Z.
Hvis φ er argumentet for z har vi altså kun mulighederne
m=0,1,…,n−1.
Dermed kan alle løsninger til
(2.7) skrives som
passende potenser af ϵn=ei2π/n:
ϵnm=emn2πi,
hvor m=0,1,…,n−1. Vi har faktisk bevist at (2.7) altid har n forskellige
løsninger over de komplekse tal.
At opløfte et komplekst tal til n-te potens svarer til at
opløfte dets modulus til n-te og gange dets argument
med n. Derfor er ωn=reiθ og dermed en løsning
til zn=a. Antag nu at un=a. Så vil
ωnun=(ωu)n=1.
Dermed vil ωu være en løsning til zn=1, hvorfor
u=ωϵnm
for et eller andet m blandt 0,…,n−1.
Den gode gamle andengradsligning
Her støder vi på det verdensberømte trick (completing the square):
az2+bz+c=a(z+2ab)2−4ab2+c.
Ved en lettere omskrivning ses at løsninger til andengradsligningen
az2+bz+c=0 opfylder
(z+2ab)2=4a2b2−4ac.
Det giver så den klassiske formel
z=2a−b±√b2−4ac,
som giver rigtig god mening også for komplekse tal a,b,c. Vi har nemlig
set i sætningen ovenfor at ligningen
w2=b2−4ac(2.9)
altid kan løses dvs
andengradsligninger over de komplekse tal har altid løsninger! Det gør ikke nogen forskel
hvilken af de to modsat rettede løsninger w vi vælger i (2.9) som
√b2−4ac. Den klassiske formel gælder stadig pga ±.
Vis at ϵ3=ei32π er en løsning til andengradsligningen
z2+z+1=0.
Benyt dette til at finde et udtryk for sinus til 120 grader (2π/3)
ved hjælp af løsningsformlen for andengradsligningen.
Algebraens fundamentalsætning
Vi så ovenfor at andengradsligninger altid har løsninger i
de komplekse tal. Det helt enestående er at dette resultat
også gælder for n-te grads ligninger dvs ligninger af
formen
anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=0,
hvor an,…,a0∈C og an≠0. Vi har blot vist det for n=2, men
det gælder for alle n=1,2,3,…!
Der er endnu ikke opdaget et algebraisk bevis for sætningen a la det vi lavede for n=2.
Om komplekse tal og periodiske fænomener
Cosinus og sinus er rasende interessante funktioner. De er
matematikkens fremmeste våben i beskrivelsen af periodiske fænomener
som feks planetbaner og bølgebevægelser. De bliver endnu mere anvendelige,
når man betragter dem ved hjælp af den komplekse eksponentialfunktion
eix.
En periodisk funktion f(t) er en funktion, som gentager sig selv
efter et bestemt tidsrum T dvs f(t)=f(t+T). For eksempel er
både sinus og cosinus periodiske funktioner med periode T=2π.
Uden at afsløre den fulde
sandhed kan jeg her skrive at man normalt kigger på cosinus og sinus
funktioner på formen
Acos(Nx)ogAsin(Nx),(2.10)
hvor A er et tal, som angiver højden (amplituden) af bølgerne og N
er et tal, som beskriver antal bølger per tidsenhed
(frekvensen). Cosinus og sinusfunktionerne i (2.10) samles
under et i funktionerne AeiNx.
Disse funktioner er byggeklodser for naturligt forekommende
periodiske fænomener.
Feks er den periodiske funktion cos(x)3:
sum af de to periodiske funktioner 41cos(3x) og 43cos(x):
Dette kan aflæses af formlen i (2.6), som vi netop fik ved hjælp af
(eix)3=ei(3x).
Vi vender tilbage til opløsningen af et signal (en periodisk funktion)
i komponenterne AeiNx senere. Faktisk er det sådan man
digitaliserer feks musik.