De komplekse tal

Kommentarer/spørgsmål?

Lad os vende tilbage til historien om ligninger og tal. Det vil føre for vidt at forklare, hvordan man systematisk indfører tal, som ikke behøver være brøker. Kort sagt laver man dem som uendelige decimaltal, men detaljerne er ret kedelige og lidt besværlige. Så vi vil antage at vi ved hvad (reelle) tal er. Man kan ikke finde et reelt tal, som løser ligningen

x2+1=0, x^2 + 1 = 0,
— intet reelt tal ganget med sig selv giver 1-1. Enhver enkel lommerregner vil blinke en fejlmeddelelse, hvis du forsøger at tage kvadratroden til 1-1. Derimod vil et moderne computer algebra system som Maple eller Mathematica formentlig give dig symbolet II som output. Hvad er dette II?

Lad os først komme ind på hvor anderledes (og mere spændende) de komplekse tal er med et eksempel fra computergrafik.

Mandelbrotmængden

Geometrisk opholder de komplekse tal sig i to dimensioner, mens de almindelige tal kun bevæger sig på en linje i en dimension.

Man kan benytte de komplekse tal til at generere såkaldte fraktaler som Mandelbrotmængden nedenfor. Mandelbrotmængden er blevet kaldt et af de smukkeste og mest komplicerede objekter i moderne matematik. I næste afsnit ser vi nærmere på addition og multiplikation af komplekse tal. Mandelbrotmængden er frembragt ene og alene ved at iterere multiplikationer og additioner med komplekse tal.




Interaktiv grafik: Du kan udforske et område af Mandelbrotmængden ved at klikke og holde musen nede for at markere et rødt rektangel til at zoome ind på. Det bedste resultat fås ved at markere et kvadrat. Når du zoomer ind på mængden vil du opdage visuel matematisk skønhed og at figuren gentager sig selv.

Kommentarer/spørgsmål?

Regneregler

Mandelbrotmængden fremkommer ved mange iterationer bestående af multiplikationer og additioner med komplekse tal. Vi har brug for at vide hvad komplekse tal er og hvordan man regner med dem.

En specielt vigtig regneregel for reelle tal hedder den distributive lov. Den siger at

x(y+z)=xy+xz x (y + z) = x y + x z
for x,y,zRx, y, z\in \mathbb{R}. En anden velkendt regel siger at faktorernes orden er ligegyldig eller at multiplikation er kommutativ dvs xy=yxx y = y x.

Opgave

Forklar så detaljeret som muligt, hvorfor
(x+y)(z+w)=xz+yz+xw+yw (x + y) (z + w) = x z + y z + x w + y w
ved at bruge den distributive lov og kommutativitet for multiplikation.

Lad os antage at vi oven i de reelle tal kaster et opdigtet eller imaginært tal ii ind, som har egenskaben at

i2=1. i^2 = -1.
Hvis a,b,c,da, b, c, d er reelle tal og vi antager at ii adlyder de almindelige regneregler får vi følgende udregning:
(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bic+adi+bidi=ac+bci+adi+bdi2=ac+bci+adibd=(acbd)+(ad+bc)i\begin{aligned} \color{blue}{(a + b i) (c + d i)} &= (a+ b i) c + (a + b i) d i\\ &= a c + b i c + a d i + b i d i\\ &= a c + b c i + a d i + b d i^2\\ &= a c + b c i + a d i - b d\\ &= \color{blue}{(a c - b d) + (a d + b c) i} \end{aligned}

Dvs to tal på formen x+yix + y i, hvor xx og yy er reelle tal, ganger sammen til et tal af samme standard form.

Kommentarer/spørgsmål?

Faktisk kan man vise at, når man definerer multiplikation som ovenfor og addition som

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d)i,
så får man en mængde af nye tal, som opfylder alle velkendte regneregler for reelle tal, som f.eks.

x(yz)=(xy)zx(y+z)=xy+xzxy=yx1x=x\begin{aligned} x (y z) &= (x y) z\\ x( y + z) &= x y + x z\\ x y & = y x\\ 1 x &= x \end{aligned}

Opgave

Den ukronede konge blandt regnereglerne er reglen x(yz)=(xy)zx (y z) = (x y) z, som kaldes den associative lov. Uformelt siger den at vi selv kan vælge hvordan vi udregner et produkt xyzx y z: Det gør ikke nogen forskel om vi først ganger xx sammen med yy og så ganger zz på eller om vi først ganger yy sammen med zz og så ganger xx på. Det giver det samme resultat. Hvis vi ikke havde den associative lov ville (den aritmetiske) verden være kaotisk.


Faktisk kan vi allerede nu se at den associative lov gælder for vores nye tal af formen a+bia + b i: Lad x=a+bi,y=c+dix = a + b i, y = c + d i og z=e+fiz = e + f i, hvor a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f er reelle tal.

  1. Udregn u=yzu = y z ved at sætte ind i formlen.
  2. Udregn v=xyv = x y ved at sætte ind i formlen.
  3. Udregn xux u og vzv z ved at sætte ind i formlen.
  4. Overbevis dig nu om at x(yz)=(xy)zx (y z) = (x y) z dvs at xu=vzx u = v z.

Hvorfor benyttes notationen ii for 1\sqrt{-1}? Begrundelsen er historisk og daterer sig tilbage til 15001500-tallet, hvor den italienske matematiker Cardano havde behov for at regne med opdigtede eller imaginære tal for at finde en formel til løsning af tredjegradsligninger. Det komplekse tal ii kaldes for den imaginære enhed.

De komplekse tal er mængden
C={x+yix,yR}, \mathbb{C} = \{x + y i \mid x, y\in \mathbb{R}\},
hvor multiplikation er givet som
(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i
og addition som
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d)i.
For et komplekst tal z=x+iyz = x + i y defineres
  1. Realdelen som
    Re(z)=x \mathrm{Re}(z) = x
  2. Imaginærdelen som
    Im(z)=y. \mathrm{Im}(z) = y.
  3. Det komplekst konjugerede tal
    z=xiy \overline{z} = x - i y

To komplekse tal er identiske hvis og kun hvis deres real- og imaginærdele er ens.

Ved hjælp af formlen for multiplikation af komplekse tal ses for z=c+diz = c + d i, at

zz=(c+di)(cdi)=c2+d2 z \overline{z} = (c + d i) (c - d i) = c^2 + d^2
ved indsættelse af a=ca = c, b=db = d, c=cc=c og d=dd = -d. Denne observation gør at vi kan udlede følgende divisionsformel:

a+bic+di=(cdi)(a+bi)(cdi)(c+di)=(ac+bd)+(adbc)ic2+d2=ac+bdc2+d2+adbcc2+d2i.\begin{aligned} \color{blue}{\frac{a + b i}{c + d i}}&= \frac{(c - d i)(a + b i)}{(c - d i)(c + d i)}\\ &= \frac{(a c + b d) + (a d - b c)i} {c^2 + d^2}\\ &= \color{blue}{\frac{a c + b d}{c^2 + d^2} + \frac{a d - b c}{c^2 + d^2} i}. \end{aligned}

Divisionen af to komplekse tal giver altså igen et komplekst tal. Vi antager at tælleren c+dic + d i ikke er lig 00 dvs cc og dd ikke begge er 00 eller ækvivalent hermed at c2+d20c^2 + d^2 \neq 0.

Kommentarer/spørgsmål?

En meget vigtig egenskab er at hvis a+bi0a + b i\neq 0, så findes c+dic + d i(a+bi)(c+di)=1(a+ b i) (c + d i) = 1. Vi ved godt denne regel er korrekt for de reelle tal dvs, hvis x0x \neq 0 så findes et reelt tal yyxy=1x y = 1. Her kan vi bare sætte y=1/xy = 1/x. På samme måde kan vi sætte c+di=1/(a+bi)c + d i = 1/(a + b i).

Opgave

Find en formel for 1/(a+bi)1/(a + b i), hvor aa og bb ikke begge er 00.

Opgave

  1. Find zCz\in \mathbb{C}, som opfylder at z(1+i)=(1+2i)z (1 + i) = (1 + 2 i).
  2. Find z1,z2Cz_1, z_2\in \mathbb{C}, som opfylder
    (12i)z1+z2=8+4iz1+iz2=3+5i\begin{aligned} (1-2 i) z_1 + z_2 &= 8 + 4 i\\ z_1 + i z_2 &= -3 + 5 i \end{aligned}

Geometrisk fortolkning og polær form

Den geometriske fortolkning af de komplekse tal blev først introduceret af den danske matematiker Caspar Wessel (1745-1818) i 1797.

Det forekommer ret naturligt at opfatte et komplekst tal z=x+iyz = x + i y, som punktet (x,y)(x, y) i et koordinatsystem.

Med dette geometriske billede ligger det lige for at indføre følgende definitioner.

Lad z=x+iyz = x + i y være et komplekst tal. Længden af vektoren (x,y)(x, y) kaldes modulus for zz og betegnes z\left\vert z \right\vert. Vinklen som (x,y)(x, y) danner med xx-aksen kaldes argumentet for zz og defineres som en vinkel i intervallet [0,2π)[0, 2\pi). For et reelt tal xRx\in \mathbb{R} definerer vi det komplekse tal
eix=cos(x)+isin(x).(2.1) e^{i x} = \cos(x) + i \sin(x). \tag{2.1}

Læg mærke til at hvis θ\theta er argumentet for det komplekse tal zz, så er

zz=eiθ.(2.2) \frac{z}{\left\vert z \right\vert} = e^{i \theta}. \tag{2.2}
Det er fordi at z/zz/\left\vert z \right\vert præcis svarer til vektoren (x,y)(x, y) ganget med dens reciprokke længde. Denne vektor er en enhedsvektor, som danner vinklen θ\theta med xx-aksen. Dvs den svarer præcis til det komplekse tal eiθe^{i\theta}.

Ligningen (2.2) giver den smukke geometriske repræsentation

z=zeiθ(2.3) z = \left\vert z \right\vert e^{i\theta} \tag{2.3}
af det komplekse tal zz. Fremstillingen (2.3) kaldes for den polære form af zz.

Denne repræsentation fortjener at blive kaldt smuk, fordi den afspejler sig mirakuløst i multiplikationen af komplekse tal: Lad z1z_1 og z2z_2 være to komplekse tal med argumenter hhv θ1\theta_1 og θ2\theta_2. Så er

z1z2=z1eiθ1z2eiθ2=z1z2eiθ1eiθ2=z1z2ei(θ1+θ2).(2.4) z_1 z_2 = \left\vert z_1 \right\vert e^{i\theta_1} \left\vert z_2 \right\vert e^{i \theta_2} = \left\vert z_1 \right\vert \left\vert z_2 \right\vert e^{i\theta_1} e^{i \theta_2} =\left\vert z_1 \right\vert \left\vert z_2 \right\vert e^{i(\theta_1+ \theta_2)}. \tag{2.4}

Med ord har vi gjort rede for at

Man multiplicerer to komplekse tal ved at multiplicere deres længder og addere deres argumenter.

Det sidste lighedstegn i (2.4) har vi rent faktisk ikke vist og det er da også et af hovedresultaterne:

For to tal x,yRx, y\in \mathbb{R} gælder formlen
eixeiy=ei(x+y). e^{i x} e^{i y} = e^{i (x + y)}.

Bevis

Vi bruger multiplikation af komplekse tal og ganger eix=cos(x)+isin(x)e^{i x} = \cos(x) + i \sin(x) og eiy=cos(y)+isin(y)e^{i y} = \cos(y) + i\sin(y) sammen:



eixeiy=(cos(x)+isin(x))(cos(y)+isin(y))=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)+i(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y))=cos(x+y)+isin(x+y)=ei(x+y).\begin{aligned} &e^{i x} e^{i y} = (\cos(x) + i\sin(x)) (\cos(y) + i\sin(y)) =\\ &\cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) + i (\cos(x) \sin(y) + \sin(x) \cos(y))=\\ &\cos(x + y) + i \sin(x + y) = e^{i (x+y)}. \end{aligned}
Her forekommer miraklet i næstsidste og sidste linje ovenfor. Multiplikationen af komplekse tal indeholder additionsformlerne:
cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)sin(x+y)=cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)\begin{aligned} \cos(x + y) &= \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\\ \sin(x + y) &= \cos(x) \sin(y) + \sin(x) \cos(y) \end{aligned}
for cosinus og sinus.

Læg iøvrigt mærke til verdens smukkeste formel:

eiπ=1. e^{i \pi} = -1.

Formlen kombinerer på minimal vis fire af de allervigtigste konstanter i matematikken: e,i,πe, i, \pi og 11 og følger af definitionen i (2.1).

Kommentarer/spørgsmål?

De Moivres formel

Abraham de Moivre var en fransk matematiker, som udover at beskæftige sig med sandsynlighedsteori også fik sit navn udødeliggjort gennem De Moivres formel. Denne formel siger i al sin enkelhed at der for et naturligt tal nn og et reelt tal xx gælder

(cos(x)+isin(x))n=cos(nx)+isin(nx).(2.5) (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(n x) + i \sin (n x). \tag{2.5}
Det er ikke svært at bevise formlen via sætningen ovenfor, som medfører at
(cos(x)+isin(x))n=(eix)n=einx=cos(nx)+isin(nx). (\cos(x) + i \sin(x))^n = (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos(n x) + i \sin( n x).
Ikke desto mindre er (2.5) et mirakel, som markerer den stærke forbindelse mellem komplekse tal og trigonometriske funktioner. For eksempel kan man benytte De Moivres formel til at udlede formler som
cos(3x)=4cos(x)33cos(x).(2.6) \cos(3 x) = 4 \cos(x)^3 - 3 \cos(x). \tag{2.6}

Kommentarer/spørgsmål?

Quiz

Hvad er cos(2x)\cos(2 x)?
2sin(x)cos(x)+12 \sin(x) \cos(x) + 1
2cos(x)212 \cos(x)^2 - 1
Ingen af de foregående svarmuligheder.

Opgave

Find en stamfunktion til cos(x)3\cos(x)^3.

Andengradsligningen og højeregradsligninger

Lad os rette opmærksomheden mod ligningen

zn=1,(2.7) z^n = 1, \tag{2.7}
hvor nn er et naturligt tal. Hvis vi kun begrænser os til de reelle tal, har (2.7) højst to løsninger (feks for n=2n=2) og nogle gange kun en (feks for n=3n=3). I de komplekse tals domæne har vi to dimensioner og kan boltre os både lodret og vandret. En løsning zz til (2.7) bliver nødt til at have modulus 11 dvs z=eiφz = e^{i\varphi} med φ[0,2π)\varphi\in [0, 2\pi). Da
zn=einφ=cos(nφ)+isin(nφ)=1 z^n = e^{i n \varphi} = \cos(n \varphi) + i \sin (n \varphi) = 1
har vi altså m2π=nφm 2 \pi = n \varphi for et helt tal mZm\in \mathbb{Z}. Hvis φ\varphi er argumentet for zz har vi altså kun mulighederne m=0,1,,n1m = 0, 1, \ldots, n-1.

Dermed kan alle løsninger til (2.7) skrives som passende potenser af ϵn=ei2π/n\epsilon_n = e^{i 2 \pi/n}:

ϵnm=em2πin, \epsilon_n^m = e^{m \frac{2\pi i}{n}},
hvor m=0,1,,n1m = 0, 1, \ldots, n-1. Vi har faktisk bevist at (2.7) altid har nn forskellige løsninger over de komplekse tal.

Eksempel

Lad os som eksempel tage ligningen z3=1z^3 = 1. Den har løsningerne, som fremkommer ved at tredele enhedscirklen;

i C\mathbb{C} dvs

z0=1z1=ei2π3=12+32iz2=ei4π3=1232i\begin{aligned} z_0 &= 1\\ z_1 &= e^{i \frac{2 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\\ z_2 &= e^{i \frac{4 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

Quiz

Lad zz være en løsning til z8=1z^8 = 1. Hvilke muligheder er der for zz?
z=2|z| = 2
z=iz = i
Argumentet for zz er π/8\pi/8.
z=22+i22. z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}.

Lad nn være et naturligt tal og a=reiθa = r e^{i \theta} et komplekst tal med modulus r0r\neq 0 og argument θ\theta. Så har ligningen
zn=a(2.8) z^n = a \tag{2.8}
løsningen
ω=rneiθn. \omega = \sqrt[n]{r} e^{i \frac{\theta}{n}}.
Ligningen (2.8) har nn forskellige løsninger og de er
ω,ωϵn,,ωϵnn1, \omega, \omega \epsilon_n , \ldots, \omega \epsilon_n^{n-1},
hvor ϵn=ei2πn\epsilon_n = e^{i \frac{2\pi}{n}}.

Bevis

At opløfte et komplekst tal til nn-te potens svarer til at opløfte dets modulus til nn-te og gange dets argument med nn. Derfor er ωn=reiθ\omega^n = r e^{i\theta} og dermed en løsning til zn=az^n = a. Antag nu at un=au^n = a. Så vil
unωn=(uω)n=1. \frac{u^n}{\omega^n} = \left(\frac{u}{\omega}\right)^n = 1.
Dermed vil uω\frac{u}{\omega} være en løsning til zn=1z^n = 1, hvorfor
u=ωϵnm u = \omega \epsilon_n^m
for et eller andet mm blandt 0,,n10, \ldots, n-1.

Den gode gamle andengradsligning

Her støder vi på det verdensberømte trick (completing the square):

az2+bz+c=a(z+b2a)2b24a+c. a z^2 + b z + c = a\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4 a} + c.
Ved en lettere omskrivning ses at løsninger til andengradsligningen az2+bz+c=0a z^2 + b z + c = 0 opfylder
(z+b2a)2=b24ac4a2. \left(z + \frac{b}{2 a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4 a c}{4 a^2}.
Det giver så den klassiske formel
z=b±b24ac2a, z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a},
som giver rigtig god mening også for komplekse tal a,b,ca, b, c. Vi har nemlig set i sætningen ovenfor at ligningen
w2=b24ac(2.9) w^2 = b^2 - 4 a c \tag{2.9}
altid kan løses dvs andengradsligninger over de komplekse tal har altid løsninger! Det gør ikke nogen forskel hvilken af de to modsat rettede løsninger ww vi vælger i (2.9) som b24ac\sqrt{b^2 - 4 a c}. Den klassiske formel gælder stadig pga ±\pm.

Opgave

Vis at ϵ3=ei2π3\epsilon_3 = e^{i \frac{2\pi}{3}} er en løsning til andengradsligningen
z2+z+1=0. z^2 + z + 1 = 0.
Benyt dette til at finde et udtryk for sinus til 120120 grader (2π/32\pi/3) ved hjælp af løsningsformlen for andengradsligningen.

Algebraens fundamentalsætning

Vi så ovenfor at andengradsligninger altid har løsninger i de komplekse tal. Det helt enestående er at dette resultat også gælder for nn-te grads ligninger dvs ligninger af formen

anzn+an1zn1++a1z+a0=0, a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0,
hvor an,,a0Ca_n, \ldots, a_0\in\mathbb{C} og an0a_n\neq 0. Vi har blot vist det for n=2n=2, men det gælder for alle n=1,2,3,n = 1, 2, 3, \ldots!

Denne perle kaldes for algebraens fundamentalsætning. Det er spændende at læse om historien bag denne sætning. 

Der er endnu ikke opdaget et algebraisk bevis for sætningen a la det vi lavede for n=2n=2.

Om komplekse tal og periodiske fænomener

Cosinus og sinus er rasende interessante funktioner. De er matematikkens fremmeste våben i beskrivelsen af periodiske fænomener som feks planetbaner og bølgebevægelser. De bliver endnu mere anvendelige, når man betragter dem ved hjælp af den komplekse eksponentialfunktion eixe^{i x}.

En periodisk funktion f(t)f(t) er en funktion, som gentager sig selv efter et bestemt tidsrum TT dvs f(t)=f(t+T)f(t) = f(t + T). For eksempel er både sinus og cosinus periodiske funktioner med periode T=2πT = 2\pi.

Uden at afsløre den fulde sandhed kan jeg her skrive at man normalt kigger på cosinus og sinus funktioner på formen

Acos(Nx)ogAsin(Nx),(2.10) A \cos(N x)\qquad \mathrm{og} \qquad A \sin(N x), \tag{2.10}
hvor AA er et tal, som angiver højden (amplituden) af bølgerne og NN er et tal, som beskriver antal bølger per tidsenhed (frekvensen). Cosinus og sinusfunktionerne i (2.10) samles under et i funktionerne AeiNxA e^{i N x}.

Disse funktioner er byggeklodser for naturligt forekommende periodiske fænomener.

Feks er den periodiske funktion cos(x)3\cos(x)^3:

sum af de to periodiske funktioner 14cos(3x)\frac{1}{4} \cos(3 x) og 34cos(x)\frac{3}{4} \cos(x):

Dette kan aflæses af formlen i (2.6), som vi netop fik ved hjælp af

(eix)3=ei(3x). (e^{i x})^3 = e^{i (3 x)}.
Vi vender tilbage til opløsningen af et signal (en periodisk funktion) i komponenterne AeiNxA e^{i N x} senere. Faktisk er det sådan man digitaliserer feks musik.

Opgaver

Quizopgave

Hvad gælder om z=(1i)(2+i)z=(1-i)(2+i)?
zz svarer til at gange 2+i2+i med 2\sqrt{2} og derefter gange med
eiπ/4e^{i \pi/4}
.
z=2iz=2-i
z=3iz = 3-i
zz svarer til at gange 2+i2+i med 2\sqrt{2} og derefter med
ei7π/4e^{i 7\pi /4}
.

Kommentarer/spørgsmål?

Gør rede for at eixeix=1e^{i x} e^{-i x} = 1, hvis xRx\in \mathbb{R}. Hvad er den polære form for z1=1/zz^{-1} = 1/z, hvis zz har polær form
z=reiθ? z = r e^{i \theta}?
Hvad med den polære form for det konjugerede komplekse tal z\overline{z}?

Kommentarer/spørgsmål?

Quizopgave

Hvad gælder om z=(2+i)/(1i)z=(2+i)/(1-i)?
zz svarer til at dividere 2+i2+i med 2\sqrt{2} og derefter gange med
eiπ/4e^{i \pi/4}
.
2z=1+3i2 z=1+3 i
z=1+3iz = -1 + 3 i
zz svarer til at gange 2+i2+i med 2\sqrt{2} og derefter med
eiπ/4e^{- i \pi /4}
.

Kommentarer/spørgsmål?

Løs andengradsligningen
z2(3+2i)z+(1+3i)=0. z^2 -(3+2i)z + (1 + 3i) = 0.

Kommentarer/spørgsmål?

Opskriv samtlige komplekse tal zz, som løser ligningen
z6=64. z^6 = 64.
Hvilke af disse løsninger er reelle tal?

Kommentarer/spørgsmål?

Find reelle tal AA og ff så at
cos(t)+sin(t)=Acos(t+f) \cos(t) + \sin(t) = A \cos(t + f)
for alle tt (AA kaldes amplituden og ff faseforskydningen af "signalet" på venstresiden).

Vink

Opfat venstresiden som realdelen af
eitieit e^{i t} - i e^{i t}
og højresiden som realdelen af
Aei(t+f). A e^{i (t + f)}.
og regn med komplekse tal!

Kommentarer/spørgsmål?

Generaliser den foregående opgave til at finde CC og ff ud fra ω,A\omega, A og BB
Acos(ωt)+Bsin(ωt)=Ccos(ωt+f). A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) = C \cos(\omega t + f).

Kommentarer/spørgsmål?